La música de los números primos – Marcus du Sautoy

Para anunciar el nuevo siglo Hilbert proponía como reto a sus oyentes una lista de 23 problemas que, según él, trazarían el camino de los exploradores matemáticos del siglo XX. (…) De todos los retos que Hilbert había propuesto, el octavo ocupaba un lugar especial en su corazón. Existe un mito germánico sobre Federico Barbarroja, un emperador muy querido por los alemanes. Tras su muerte, acaecida durante la tercera cruzada, se difundió la leyenda de que en realidad Federico continuaba con vida, que yacía dormido en una cueva del monte Kyffhäuser y que despertaría cuando Alemania lo necesitara. Se dice que alguien preguntó a Hilbert: “Si usted como Barbarroja, despertara dentro de 500 años, ¿qué sería lo primero que haría?”. “Preguntaría si alguien ha demostrado la hipótesis de Riemann” respondió.

Los números primos son los auténticos átomos de la aritmética. (…) su importancia descansa en el hecho de que tienen la capacidad de construir todos los demás números.

Como afirmó el matemático de Cambridge G.H.Hardy en su famoso libro Apología de un matemático “317 es un número primo no porque nosotros pensemos que lo es o porque nuestra mente esté conformada de un modo o de otro, sino porque es así, porque la realidad matemática está hecha así”. Es probable que algunos filósofos estén en desacuerdo con esta visión platónica del mundo –la convicción de qu ese trata de una realidad absoluta más allá de la existencia humana- pero en mi opinión, es precisamente eso lo que los hace filósofos y no matemáticos.  (…) En “Materia de reflexión” hay un diálogo fascinante entre Alain Connes el matemático y el neurobiólogo Changeux. En el libro se palpa la tensión  con Connes sosteniendo la existencia matemática fuera de la mente humana (…) “existe, con independencia de la mente humana una realidad matemática es pura e inmutable, es el único lenguaje universal” .

La hipótesis de Riemann es la longitud de la matemática. Su solución abre la perspectiva de dibujar un mapa de las brumosas aguas del inmenso océano de los números primos. Representa apenas el comienzo de nuestra comprensión de los números de la naturaleza. Una vez que descubramos el secreto para orientarnos entre los números primos, quién sabe qué otras cosas podría haber allá afuera esperando a que las descubramos.

Cuando las cosas se vuelven demasiado complicadas, a veces tiene sentido parar y preguntarse: ¿he planteado la pregunta correcta? ENRICO BOMBIERI «Prime Territory», en The Sciences

La búsqueda de los modelos:

1, 3, 6, 10, 15, …

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30,

La primera de las tres sucesiones anteriores está formada por los llamados números triangulares. El décimo número de la lista es el número de alubias necesarias para construir un triángulo de diez filas que comience con una fila de una única alubia y que termine con una fila de diez alubias. (…). La segunda de las sucesiones que hemos propuesto, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, es la de los llamados números de Fibonacci. Para construirla basta calcular cada número sumando los dos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, 13 = 5 + 8. Leonardo Fibonacci, matemático pisano del siglo XIII, dio con ella al estudiar los hábitos reproductores de los conejos. (…)La fórmula para generar los números de Fibonacci se basa en un número especial llamado número de oro o proporción áurea, un número que empieza por 1,61803… Igual que π, la proporción áurea es un número cuya expresión decimal no tiene fin, no manifiesta ninguna regularidad y, sin embargo, encierra las que a lo largo de los siglos han sido consideradas como las proporciones perfectas. Si examinamos los lienzos que se exponen en el Louvre o en la Tate Gallery, descubriremos que con mucha frecuencia el artista ha elegido un rectángulo cuyos lados están en la proporción de 1 a 1,61803. Además, los experimentos revelan que entre la altura de una persona y la distancia que separa sus pies del ombligo se conserva esa misma proporción numérica. La aparición de la proporción áurea en la naturaleza tiene algo de misterioso. (…) ¿De cuántas maneras distintas se puede dividir cinco piedras en montones diferentes? El número de montones varía de un máximo de cinco montones compuestos por una única piedra a un único montón de cinco piedras, con un cierto número de posibilidades intermedias. Estas distintas posibilidades reciben el nombre de particiones del número 5. Como muestra el dibujo, hay siete posibles particiones de 5. Ésta es la tercera de las sucesiones numéricas que habíamos planteado. Son números que aparecen en el mundo físico casi con la misma frecuencia que los números de Fibonacci; por ejemplo, deducir la densidad de los niveles energéticos en determinados sistemas cuánticos simples se reduce a comprender el crecimiento del número de particiones.

Hay algo vagamente falaz en nuestro gambito de apertura: se supone que existen cosas que no queremos que existan y se termina por demostrar que no existen. Esta estrategia de pensar lo impensable se convirtió en un potente instrumento para la construcción de demostraciones por parte de los antiguos griegos. Está basada en un principio lógico: una afirmación debe ser cierta o falsa. Si partimos del supuesto de que la afirmación es falsa y terminamos en una contradicción, podemos deducir de ello que nuestro supuesto era erróneo y concluir que la afirmación tenía que ser cierta.

En realidad, Pitágoras había sido el primero en determinar el nexo fundamental que liga matemáticas y música. Había llenado de agua un recipiente y lo había percutido con un pequeño martillo para producir una nota. Al retirar la mitad del agua y percutir de nuevo el recipiente la nota había subido una octava. Cada vez que retiraba agua de manera que quedara un tercio, un cuarto, y así sucesivamente, las notas que se producían sonaban en su oído en armonía con la primera nota que había obtenido. Cualquier otra nota que se obtuviera retirando del recipiente una cantidad distinta de agua resultaba disonante con respecto a la nota original. Estas fracciones contenían una belleza que podía ser escuchada. La armonía que Pitágoras había descubierto en los números 1, 1/2, 1/3, 1/4, … lo indujo a creer que el universo entero estaba controlado por la música, y por esta razón acuñó la expresión «la música de las esferas».

Al percutir su recipiente, Pitágoras había desvelado la armonía musical que se ocultaba en una sucesión de fracciones. Mersenne y Euler, dos grandes expertos en números primos, habían creado la teoría de los armónicos. Pero ninguno de ellos sospechó siquiera que se pudieran dar relaciones directas entre la música y los números primos: la de los números primos era una melodía que para ser captada necesitaba oídos matemáticos del siglo XIX. El mundo imaginario de Riemann generó simples ondas que, juntas, pudieron reproducir las armonías sutiles de los números primos.

Euclides en Alejandría, Euler en San Petersburgo; el trío de Gotinga: — Gauss, Dirichlet, Riemann—: el problema de los números primos pasaba como un testigo de generación en generación.

A pesar de que Ramanujan no consiguió llevar a buen puerto la misma estratagema en el caso de los números primos, el trabajo que realizó junto con Hardy sobre la función de partición tuvo un impacto importante sobre la conjetura de Goldbach, uno de los grandes problemas irresueltos de la teoría de los números primos. El trabajo de Hardy y Littlewood sobre la función de partición inauguró una técnica que hoy se llama método del círculo de Hardy-Littlewood. (…) Aun no pudiendo probar que todo número par puede expresarse como suma de dos números primos, en 1923 Hardy y Littlewood consiguieron demostrar algo que para los matemáticos era casi igual de importante: que todos los números impares mayores que un número dado (un número enorme) podían escribirse como suma de tres números primos. Pero hacía falta imponer una condición para que su demostración fuera válida: que fuera cierta la hipótesis de Riemann.

Como demostró el caso de Ramanujan, quizás el conocimiento y las expectativas pueden llegar a frenar los progresos: los académicos que se han formado en las sedes tradicionales de la cultura no necesariamente están en la mejor posición para escapar de los esquemas. (…)Las ideas que Ramanujan dejó tras de sí estaban destinadas a alimentar el trabajo de generaciones enteras de matemáticos, y continúan haciéndolo. De hecho, podría afirmarse que sólo en los últimos decenios se ha empezado a apreciar completamente el valor real de las ideas de Ramanujan.

Sobre la chimenea de la sala de profesores del Fine Hall están escritas algunas palabras que a Einstein le gustaba repetir: «Raffiniert ist der Herr Gott, aber boshaft ist Er nicht» [Dios es sutil, pero no es malicioso]. En cambio, los matemáticos eran bastante más escépticos sobre la veracidad de tal afirmación: como Hardy había explicado a Ramanujan, hay «una diabólica malignidad inherente a los números primos».

El nombre de Alan Turing estará asociado siempre a la decodificación de Enigma, el código secreto que usaban los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial.

Pero los estudios de Hilbert sobre las geometrías no euclidianas habían planteado una cuestión preocupante: ¿estamos seguros de no poder demostrar jamás que un enunciado es a la vez cierto y falso? (…) Para su tesis doctoral, Gödel había dirigido su espíritu inquiridor a la cuestión de Hilbert que se hallaba en el corazón de la actividad matemática: demostró que los matemáticos nunca podrían demostrar que poseían los fundamentos seguros que Hilbert ansiaba.

La toma de conciencia de Gödel recuerda la descripción del universo que da una señora anciana y menuda con la que se abre el libro de Stephen Hawking Breve historia del tiempo. Al terminar una conferencia de divulgación sobre astronomía, una anciana se levanta y, dirigiéndose al orador, declara: «Todo lo que nos ha contado son tonterías. En realidad, el mundo es un disco plano que se apoya sobre la espalda de una inmensa tortuga». La respuesta de la señora a la pregunta del conferenciante sobre cuál sería entonces el apoyo de la tortuga habría provocado una sonrisa en el rostro de Gödel: «Usted es muy inteligente, jovencito, verdaderamente muy inteligente. ¡Pero es evidente que cada tortuga se apoya sobre otra tortuga!». Gödel había proporcionado a las matemáticas una demostración de que el universo matemático se apoya en una torre de tortugas: se puede conseguir una teoría libre de contradicciones pero no se puede demostrar que en el interior de dicha teoría no hay contradicciones.

Todo lo que podemos hacer es demostrar la consistencia interior de otro sistema cuya consistencia, sin embargo, no podemos demostrar. Había una cierta ironía en todo esto: las matemáticas podía ser utilizada para demostrar las limitaciones de las propias demostraciones. El matemático francés André Weil sintetizó la situación que se producía después de Gödel con una frase memorable: «Dios existe porque las matemáticas son consistentes, y el demonio existe porque no podemos demostrar que lo es».

Tenemos que procurar no enfatizar demasiado el significado de los resultados de Gödel: no se trataba de las honras fúnebres de las matemáticas. Gödel no había cuestionado la verdad de lo que ya había sido demostrado; lo que su teorema demostraba era la realidad matemática no se reducía a la deducción de teoremas a partir de axiomas: las matemáticas son algo más que una partida de ajedrez. Es necesario que a la obra incesante de construcción del edificio matemático se acompañe una continua evolución de los fundamentos sobre los que se basa el edificio. A diferencia de la naturaleza formal de las reglas para la construcción del edificio, la evolución de los fundamentos se tiene que basar en las intuiciones de los matemáticos sobre la elección de los axiomas que, en su opinión, puedan proporcionar una mejor descripción del mundo de las matemáticas. Muchos sintieron satisfacción al interpretar en el teorema de Gödel una confirmación de la superioridad de la mente sobre el espíritu mecanicista propiciado por la Revolución industrial.

El análisis extremadamente abstracto que Turing hizo del problema de la decidibilidad de Hilbert se convirtió, decenios más tarde, en la clave del descubrimiento fortuito de una ecuación que genera todos los números primos.

A finales de la Segunda Guerra Mundial el mayor número primo conocido tenía treinta y nueve cifras, y detentaba el récord desde su descubrimiento en el año 1876: hoy, el mayor número primo conocido tiene más de un millón de cifras: harían falta más páginas que las de este libro para imprimirlo, y varios meses para leerlo. Lo que nos ha permitido alcanzar estas alturas vertiginosas ha sido el ordenador; pero, en Bletchley Park, Turing estaba ya pensando en cómo utilizar su máquina para determinar números primos cada vez mayores.

Si el ordenador sobrepasa nuestra capacidad de cálculo, ¿no convierte a las matemáticas en superflua? Afortunadamente, no: lejos de anunciar el fin de las matemáticas, este hecho resalta la verdadera diferencia que se da entre el artista creativo que es el matemático y el ejecutor de tediosos cálculos que es el ordenador. No hay duda de que el ordenador es un aliado precioso de los matemáticos en la exploración de su mundo numérico y un experto sherpa en el ascenso al monte Riemann, pero también es cierto que no podrá tomar nunca el lugar de un matemático. (…)Cuando, por ejemplo, nos planteamos la búsqueda de grandes números primos con la ayuda de un ordenador, ¿obtenemos una mejor comprensión de su naturaleza?

Hardy siempre había estado muy orgulloso de la inutilidad total de las matemáticas, y de la teoría de los números en particular, en el mundo real: Las «verdaderas» matemáticas de los «verdaderos» matemáticos, las de Fermat, de Euler, de Gauss, de Abel y de Riemann, son casi totalmente «inútiles» (y esto vale tanto para las matemáticas «aplicadas» como para las matemáticas «puras»). No puede justificarse la vida de ningún matemático profesional verdadero sobre la base de la «utilidad» de su trabajo. Hardy no pudo equivocarse más: las matemáticas de Fermat, de Gauss y de Riemann estaban destinada a convertirse en un instrumento fundamental para el mundo del comercio. Por esta razón, en los años ochenta y noventa la AT&T reclutó un número de matemáticos aún mayor. Hoy, la seguridad de la aldea electrónica depende enteramente de nuestra comprensión de los números primos.

Hace más de dos mil años que los matemáticos griegos demostraron que todo número entero puede escribirse como producto de números primos; desde entonces, los matemáticos siguen sin encontrar un método rápido y eficiente para determinar los números primos con los que se construyen los demás números. (…)Actualmente, la factorización de los números —su descomposición en los números primos que los forman— ha dejado de ser un pasatiempo para tardes de domingo y se ha situado en el centro de las modernas técnicas de descifrado de códigos: los matemáticos han ideado una forma de ligar el difícil problema de la factorización con los códigos que protegen las finanzas de todo el mundo en Internet.

Pero nosotros, armados con nuestros ordenadores, ¿no podemos simplemente verificar un número primo tras otro hasta hallar uno que divida al número que pretendemos factorizar? El problema es que factorizar un número de más de cien cifras significa tener que verificar más números que la cantidad de partículas existentes en el universo observable. Con tal cantidad de números para verificar, Rivest, Shamir y Adleman se sintieron lo bastante confiados como para lanzar un desafío: factorizar un número de 129 cifras que ellos mismos habían construido multiplicando dos números primos. El número, junto con un mensaje cifrado, se publicó en el artículo de Martin Gardner en Scientific American que llevó el código al centro de la atención mundial.

En su país, Koblitz soporta mal el control sofocante de la Agencia para la Seguridad Nacional (NSA) sobre el área de las matemáticas que lo ocupa. Actualmente, antes de publicar cierto tipo de investigación en el campo de la teoría de los números, hace falta obtener la autorización de la NSA, aunque los textos vayan destinados a las más oscuras revistas. Gracias a las innovadoras ideas de Koblitz, las curvas elípticas se han colocado junto a los números primos en la «lista de las investigaciones sometidas a restricción» que las autoridades desean mantener bajo control.

El único viaje verdadero hacia el descubrimiento no consiste en la búsqueda de nuevos paisajes, sino en mirar con nuevos ojos. MARCEL PROUST En busca del tiempo Perdido

Dyson explicó rápidamente a Montgomery que aquellas entidades matemáticas de nombre esotérico eran utilizadas por los físicos cuánticos para predecir los niveles energéticos en el núcleo de un átomo pesado cuando es bombardeado con neutrones de baja energía. (…) Montgomery no podía creerlo: las configuraciones que preveía en la distribución de los ceros eran idénticas a las que los físicos cuánticos estaban descubriendo en los niveles energéticos de los núcleos de átomos pesados. Se trataba de configuraciones tan características que el fuerte parecido no podía ser fruto de una coincidencia. Ahí estaba el mensaje que Montgomery estaba buscando: quizá las matemáticas que se esconden en los niveles cuánticos de energía en los núcleos de los átomos pesados son las mismas matemáticas que determinan las posiciones de los ceros de Riemann.

Hacia 1920 los físicos comprendieron que las matemáticas que describen las frecuencias del sonido emitido por un tambor podían usarse también para calcular los niveles energéticos de vibración de los electrones en un átomo. En este sentido, átomo y tambor son físicamente equivalentes: fuerzas presentes en el átomo controlan las vibraciones de las partículas subatómicas, de la misma manera que la tensión de la membrana de piel o la presión del aire gobiernan las vibraciones que terminan por formar el sonido del tambor.

Diaconis permanece fiel a sus raíces de ilusionista, y reconoce que ambas artes tienen mucho en común.

La teoría del caos, las matemáticas que se esconde tras estas imágenes, ayuda a comprender por qué, por muy simples que puedan ser las leyes de la naturaleza, la realidad aparece  infinitamente compleja. El término «caos» se utiliza cuando un sistema dinámico es muy sensible a las condiciones iniciales; cuando una mínima variación en el momento de iniciar un experimento produce una diferencia drástica en los resultados obtenidos, ésta es la inconfundible firma del caos.

El nuevo giro conseguido por Berry podría llevar a una unificación de tres grandes temas científicos: la física cuántica (la física de lo extremadamente pequeño), el caos (las matemáticas de la impredecibilidad) y los números primos (los átomos de la aritmética).

Las notables competencias lingüísticas de Weil contribuyeron a su gran habilidad para crear un nuevo lenguaje matemático que le permitió articular sutilezas conceptuales inexpresables de otra forma. Pero fue precisamente su obsesión por las lenguas y, en concreto, su amor por el Mahabbarata —un antiguo texto sánscrito—, lo que, a principios de 1940, condujo a prisión al eminente joven matemático.

El nuevo lenguaje matemático de Weil, la geometría algebraica, le había permitido articular sutilezas sobre la solución de ecuaciones que de otra forma hubieran sido imposibles. Pero si quedaba alguna esperanza de extender las ideas de Weil de manera que ayudaran a demostrar la hipótesis de Riemann, estaba claro que aquellas ideas se desarrollarían más allá de las bases que él había sentado desde su celda de Rouen. Sería otro matemático parisiense quien daría vida al esqueleto del nuevo lenguaje ideado por Weil. El gran artífice de esta empresa fue uno de los matemáticos más extraños y más revolucionarios del siglo XX: Alexandre Grothendieck.

Si la revolución geométrica de Riemann ofreció a Einstein el lenguaje necesario para describir la física de lo increíblemente grande, la geometría de Connes ofrece a los matemáticos la posibilidad de penetrar en la extraña geometría de lo increíblemente pequeño. Gracias a él, quizá podremos descifrar la estructura elemental del espacio.

Euclides demostró que los números primos siguen hasta el infinito; Gauss plateó la hipótesis de que siguen un orden aleatorio, como si hubieran sido elegidos lanzando una moneda; Riemann fue aspirado por un agujero que lo condujo a un espacio imaginario donde los números primos se convierten en música. En este espacio, cada punto a nivel del mar hace sonar una nota. Por tanto, se trataba de interpretar el mapa del tesoro de Riemann, y de descubrir la ubicación de cada punto a nivel del mar. Armado con una fórmula que mantuvo en secreto para el resto del mundo, Riemann descubrió que, aunque la disposición de los números primos pareciera caótica, los puntos de su mapa estaban ordenados perfectamente: en lugar de estar desparramados aquí y allá, estaban todos sobre una misma recta. No podía ver lo bastante lejos en aquel paisaje como para poder afirmar que este orden siempre sería respetado, así lo creía. Había nacido la hipótesis de Riemann.