Para anunciar el nuevo siglo
Hilbert proponía como reto a sus oyentes una lista de 23 problemas que, según
él, trazarían el camino de los exploradores matemáticos del siglo XX. (…) De
todos los retos que Hilbert había propuesto, el octavo ocupaba un lugar
especial en su corazón. Existe un mito germánico sobre Federico Barbarroja, un
emperador muy querido por los alemanes. Tras su muerte, acaecida durante la
tercera cruzada, se difundió la leyenda de que en realidad Federico continuaba
con vida, que yacía dormido en una cueva del monte Kyffhäuser y que despertaría
cuando Alemania lo necesitara. Se dice que alguien preguntó a Hilbert: “Si
usted como Barbarroja, despertara dentro de 500 años, ¿qué sería lo primero que
haría?”. “Preguntaría si alguien ha demostrado la hipótesis de Riemann”
respondió.
Los números primos son los
auténticos átomos de la aritmética. (…) su importancia descansa en el hecho de
que tienen la capacidad de construir todos los demás números.
Como afirmó el matemático de
Cambridge G.H.Hardy en su famoso libro Apología de un matemático “317 es un
número primo no porque nosotros pensemos que lo es o porque nuestra mente esté
conformada de un modo o de otro, sino porque es así, porque la realidad
matemática está hecha así”. Es probable que algunos filósofos estén en
desacuerdo con esta visión platónica del mundo –la convicción de qu ese trata
de una realidad absoluta más allá de la existencia humana- pero en mi opinión,
es precisamente eso lo que los hace filósofos y no matemáticos. (…) En “Materia de reflexión” hay un diálogo
fascinante entre Alain Connes el matemático y el neurobiólogo Changeux. En el
libro se palpa la tensión con Connes
sosteniendo la existencia matemática fuera de la mente humana (…) “existe, con
independencia de la mente humana una realidad matemática es pura e inmutable,
es el único lenguaje universal” .
La hipótesis de Riemann es
la longitud de la matemática. Su solución abre la perspectiva de dibujar un
mapa de las brumosas aguas del inmenso océano de los números primos. Representa
apenas el comienzo de nuestra comprensión de los números de la naturaleza. Una
vez que descubramos el secreto para orientarnos entre los números primos, quién
sabe qué otras cosas podría haber allá afuera esperando a que las descubramos.
Cuando las cosas se vuelven
demasiado complicadas, a veces tiene sentido parar y preguntarse: ¿he planteado
la pregunta correcta? ENRICO
BOMBIERI «Prime Territory», en The Sciences
La búsqueda de los modelos:
1, 3, 6, 10, 15, …
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22,
30,
La primera de las tres
sucesiones anteriores está formada por los llamados números triangulares. El
décimo número de la lista es el número de alubias necesarias para construir un
triángulo de diez filas que comience con una fila de una única alubia y que
termine con una fila de diez alubias. (…). La segunda de las sucesiones que
hemos propuesto, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, es la de los llamados números de
Fibonacci. Para construirla basta calcular cada número sumando los dos
inmediatamente anteriores. Por ejemplo, 13 = 5 + 8. Leonardo Fibonacci,
matemático pisano del siglo XIII, dio con ella al estudiar los hábitos
reproductores de los conejos. (…)La fórmula para generar los números de Fibonacci
se basa en un número especial llamado número de oro o proporción áurea, un
número que empieza por 1,61803… Igual que π, la proporción áurea es un número
cuya expresión decimal no tiene fin, no manifiesta ninguna regularidad y, sin
embargo, encierra las que a lo largo de los siglos han sido consideradas como
las proporciones perfectas. Si examinamos los lienzos que se exponen en el
Louvre o en la Tate Gallery, descubriremos que con mucha frecuencia el artista
ha elegido un rectángulo cuyos lados están en la proporción de 1 a 1,61803.
Además, los experimentos revelan que entre la altura de una persona y la
distancia que separa sus pies del ombligo se conserva esa misma proporción
numérica. La aparición de la proporción áurea en la naturaleza tiene algo de
misterioso. (…) ¿De cuántas maneras distintas se puede dividir cinco piedras en
montones diferentes? El número de montones varía de un máximo de cinco montones
compuestos por una única piedra a un único montón de cinco piedras, con un
cierto número de posibilidades intermedias. Estas distintas posibilidades
reciben el nombre de particiones del número 5. Como muestra el dibujo, hay
siete posibles particiones de 5. Ésta es la tercera de las sucesiones numéricas
que habíamos planteado. Son números que aparecen en el mundo físico casi con la
misma frecuencia que los números de Fibonacci; por ejemplo, deducir la densidad
de los niveles energéticos en determinados sistemas cuánticos simples se reduce
a comprender el crecimiento del número de particiones.
Hay algo vagamente falaz en
nuestro gambito de apertura: se supone que existen cosas que no queremos que
existan y se termina por demostrar que no existen. Esta estrategia de pensar lo
impensable se convirtió en un potente instrumento para la construcción de
demostraciones por parte de los antiguos griegos. Está basada en un principio
lógico: una afirmación debe ser cierta o falsa. Si partimos del supuesto de que
la afirmación es falsa y terminamos en una contradicción, podemos deducir de
ello que nuestro supuesto era erróneo y concluir que la afirmación tenía que
ser cierta.
En realidad, Pitágoras había
sido el primero en determinar el nexo fundamental que liga matemáticas y
música. Había llenado de agua un recipiente y lo había percutido con un pequeño
martillo para producir una nota. Al retirar la mitad del agua y percutir de
nuevo el recipiente la nota había subido una octava. Cada vez que retiraba agua
de manera que quedara un tercio, un cuarto, y así sucesivamente, las notas que
se producían sonaban en su oído en armonía con la primera nota que había
obtenido. Cualquier otra nota que se obtuviera retirando del recipiente una
cantidad distinta de agua resultaba disonante con respecto a la nota original.
Estas fracciones contenían una belleza que podía ser escuchada. La armonía que
Pitágoras había descubierto en los números 1, 1/2, 1/3, 1/4, … lo indujo a
creer que el universo entero estaba controlado por la música, y por esta razón
acuñó la expresión «la música de las esferas».
Al percutir su recipiente,
Pitágoras había desvelado la armonía musical que se ocultaba en una sucesión de
fracciones. Mersenne y Euler, dos grandes expertos en números primos, habían
creado la teoría de los armónicos. Pero ninguno de ellos sospechó siquiera que
se pudieran dar relaciones directas entre la música y los números primos: la de
los números primos era una melodía que para ser captada necesitaba oídos
matemáticos del siglo XIX. El mundo imaginario de Riemann generó simples ondas
que, juntas, pudieron reproducir las armonías sutiles de los números primos.
Euclides en Alejandría,
Euler en San Petersburgo; el trío de Gotinga: — Gauss, Dirichlet, Riemann—: el
problema de los números primos pasaba como un testigo de generación en
generación.
A pesar de que Ramanujan no consiguió
llevar a buen puerto la misma estratagema en el caso de los números primos, el
trabajo que realizó junto con Hardy sobre la función de partición tuvo un
impacto importante sobre la conjetura de Goldbach, uno de los grandes problemas
irresueltos de la teoría de los números primos. El trabajo de Hardy y
Littlewood sobre la función de partición inauguró una técnica que hoy se llama método
del círculo de Hardy-Littlewood. (…) Aun no pudiendo probar que todo número par
puede expresarse como suma de dos números primos, en 1923 Hardy y Littlewood
consiguieron demostrar algo que para los matemáticos era casi igual de
importante: que todos los números impares mayores que un número dado (un número
enorme) podían escribirse como suma de tres números primos. Pero hacía falta imponer
una condición para que su demostración fuera válida: que fuera cierta la hipótesis
de Riemann.
Como demostró el caso de Ramanujan,
quizás el conocimiento y las expectativas pueden llegar a frenar los progresos:
los académicos que se han formado en las sedes tradicionales de la cultura no
necesariamente están en la mejor posición para escapar de los esquemas. (…)Las
ideas que Ramanujan dejó tras de sí estaban destinadas a alimentar el trabajo
de generaciones enteras de matemáticos, y continúan haciéndolo. De hecho, podría
afirmarse que sólo en los últimos decenios se ha empezado a apreciar
completamente el valor real de las ideas de Ramanujan.
Sobre la chimenea de la sala
de profesores del Fine Hall están escritas algunas palabras que a Einstein le
gustaba repetir: «Raffiniert ist der Herr Gott, aber boshaft ist Er nicht»
[Dios es sutil, pero no es malicioso]. En cambio, los matemáticos eran bastante
más escépticos sobre la veracidad de tal afirmación: como Hardy había explicado
a Ramanujan, hay «una diabólica malignidad inherente a los números primos».
El nombre de Alan Turing
estará asociado siempre a la decodificación de Enigma, el código secreto que
usaban los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial.
Pero los estudios de Hilbert
sobre las geometrías no euclidianas habían planteado una cuestión preocupante: ¿estamos
seguros de no poder demostrar jamás que un enunciado es a la vez cierto y
falso? (…) Para su tesis doctoral, Gödel había dirigido su espíritu inquiridor
a la cuestión de Hilbert que se hallaba en el corazón de la actividad matemática:
demostró que los matemáticos nunca podrían demostrar que poseían los fundamentos
seguros que Hilbert ansiaba.
La toma de conciencia de Gödel
recuerda la descripción del universo que da una señora anciana y menuda con la que
se abre el libro de Stephen Hawking Breve historia del tiempo. Al terminar una
conferencia de divulgación sobre astronomía, una anciana se levanta y, dirigiéndose
al orador, declara: «Todo lo que nos ha contado son tonterías. En realidad, el
mundo es un disco plano que se apoya sobre la espalda de una inmensa tortuga».
La respuesta de la señora a la pregunta del conferenciante sobre cuál sería
entonces el apoyo de la tortuga habría provocado una sonrisa en el rostro de Gödel:
«Usted es muy inteligente, jovencito, verdaderamente muy inteligente. ¡Pero es
evidente que cada tortuga se apoya sobre otra tortuga!». Gödel había
proporcionado a las matemáticas una demostración de que el universo matemático
se apoya en una torre de tortugas: se puede conseguir una teoría libre de
contradicciones pero no se puede demostrar que en el interior de dicha teoría
no hay contradicciones.
Todo lo que podemos hacer es
demostrar la consistencia interior de otro sistema cuya consistencia, sin embargo,
no podemos demostrar. Había una cierta ironía en todo esto: las matemáticas podía
ser utilizada para demostrar las limitaciones de las propias demostraciones. El
matemático francés André Weil sintetizó la situación que se producía después de
Gödel con una frase memorable: «Dios existe porque las matemáticas son
consistentes, y el demonio existe porque no podemos demostrar que lo es».
Tenemos que procurar no
enfatizar demasiado el significado de los resultados de Gödel: no se trataba de
las honras fúnebres de las matemáticas. Gödel no había cuestionado la verdad de
lo que ya había sido demostrado; lo que su teorema demostraba era la realidad
matemática no se reducía a la deducción de teoremas a partir de axiomas: las matemáticas
son algo más que una partida de ajedrez. Es necesario que a la obra incesante
de construcción del edificio matemático se acompañe una continua evolución de
los fundamentos sobre los que se basa el edificio. A diferencia de la
naturaleza formal de las reglas para la construcción del edificio, la evolución
de los fundamentos se tiene que basar en las intuiciones de los matemáticos sobre
la elección de los axiomas que, en su opinión, puedan proporcionar una mejor
descripción del mundo de las matemáticas. Muchos sintieron satisfacción al
interpretar en el teorema de Gödel una confirmación de la superioridad de la
mente sobre el espíritu mecanicista propiciado por la Revolución industrial.
El análisis extremadamente
abstracto que Turing hizo del problema de la decidibilidad de Hilbert se
convirtió, decenios más tarde, en la clave del descubrimiento fortuito de una
ecuación que genera todos los números primos.
A finales de la Segunda
Guerra Mundial el mayor número primo conocido tenía treinta y nueve cifras, y detentaba
el récord desde su descubrimiento en el año 1876: hoy, el mayor número primo
conocido tiene más de un millón de cifras: harían falta más páginas que las de
este libro para imprimirlo, y varios meses para leerlo. Lo que nos ha permitido
alcanzar estas alturas vertiginosas ha sido el ordenador; pero, en Bletchley
Park, Turing estaba ya pensando en cómo utilizar su máquina para determinar números
primos cada vez mayores.
Si el ordenador sobrepasa
nuestra capacidad de cálculo, ¿no convierte a las matemáticas en superflua? Afortunadamente,
no: lejos de anunciar el fin de las matemáticas, este hecho resalta la
verdadera diferencia que se da entre el artista creativo que es el matemático y
el ejecutor de tediosos cálculos que es el ordenador. No hay duda de que el
ordenador es un aliado precioso de los matemáticos en la exploración de su
mundo numérico y un experto sherpa en el ascenso al monte Riemann, pero también
es cierto que no podrá tomar nunca el lugar de un matemático. (…)Cuando, por
ejemplo, nos planteamos la búsqueda de grandes números primos con la ayuda de
un ordenador, ¿obtenemos una mejor comprensión de su naturaleza?
Hardy siempre había estado
muy orgulloso de la inutilidad total de las matemáticas, y de la teoría de los
números en particular, en el mundo real: Las «verdaderas» matemáticas de los «verdaderos»
matemáticos, las de Fermat, de Euler, de Gauss, de Abel y de Riemann, son casi
totalmente «inútiles» (y esto vale tanto para las matemáticas «aplicadas» como
para las matemáticas «puras»). No puede justificarse la vida de ningún matemático
profesional verdadero sobre la base de la «utilidad» de su trabajo. Hardy no
pudo equivocarse más: las matemáticas de Fermat, de Gauss y de Riemann estaban
destinada a convertirse en un instrumento fundamental para el mundo del
comercio. Por esta razón, en los años ochenta y noventa la AT&T reclutó un
número de matemáticos aún mayor. Hoy, la seguridad de la aldea electrónica
depende enteramente de nuestra comprensión de los números primos.
Hace más de dos mil años que
los matemáticos griegos demostraron que todo número entero puede escribirse como
producto de números primos; desde entonces, los matemáticos siguen sin
encontrar un método rápido y eficiente para determinar los números primos con
los que se construyen los demás números. (…)Actualmente, la factorización de
los números —su descomposición en los números primos que los forman— ha dejado
de ser un pasatiempo para tardes de domingo y se ha situado en el centro de las
modernas técnicas de descifrado de códigos: los matemáticos han ideado una
forma de ligar el difícil problema de la factorización con los códigos que protegen
las finanzas de todo el mundo en Internet.
Pero nosotros, armados con
nuestros ordenadores, ¿no podemos simplemente verificar un número primo tras
otro hasta hallar uno que divida al número que pretendemos factorizar? El problema
es que factorizar un número de más de cien cifras significa tener que verificar
más números que la cantidad de partículas existentes en el universo observable.
Con tal cantidad de números para verificar, Rivest, Shamir y Adleman se sintieron
lo bastante confiados como para lanzar un desafío: factorizar un número de 129
cifras que ellos mismos habían construido multiplicando dos números primos. El
número, junto con un mensaje cifrado, se publicó en el artículo de Martin
Gardner en Scientific American que llevó el código al centro de la atención
mundial.
En su país, Koblitz soporta
mal el control sofocante de la Agencia para la Seguridad Nacional (NSA) sobre
el área de las matemáticas que lo ocupa. Actualmente, antes de publicar cierto tipo
de investigación en el campo de la teoría de los números, hace falta obtener la
autorización de la NSA, aunque los textos vayan destinados a las más oscuras
revistas. Gracias a las innovadoras ideas de Koblitz, las curvas elípticas se
han colocado junto a los números primos en la «lista de las investigaciones
sometidas a restricción» que las autoridades desean mantener bajo control.
El único viaje verdadero
hacia el descubrimiento no consiste en la búsqueda de nuevos paisajes, sino en
mirar con nuevos ojos. MARCEL PROUST En busca del tiempo Perdido
Dyson explicó rápidamente a Montgomery
que aquellas entidades matemáticas de nombre esotérico eran utilizadas por los
físicos cuánticos para predecir los niveles energéticos en el núcleo de un átomo
pesado cuando es bombardeado con neutrones de baja energía. (…) Montgomery no
podía creerlo: las configuraciones que preveía en la distribución de los ceros
eran idénticas a las que los físicos cuánticos estaban descubriendo en los
niveles energéticos de los núcleos de átomos pesados. Se trataba de
configuraciones tan características que el fuerte parecido no podía ser fruto
de una coincidencia. Ahí estaba el mensaje que Montgomery estaba buscando: quizá
las matemáticas que se esconden en los niveles cuánticos de energía en los núcleos
de los átomos pesados son las mismas matemáticas que determinan las posiciones
de los ceros de Riemann.
Hacia 1920 los físicos comprendieron
que las matemáticas que describen las frecuencias del sonido emitido por un
tambor podían usarse también para calcular los niveles energéticos de vibración
de los electrones en un átomo. En este sentido, átomo y tambor son físicamente equivalentes:
fuerzas presentes en el átomo controlan las vibraciones de las partículas subatómicas,
de la misma manera que la tensión de la membrana de piel o la presión del aire
gobiernan las vibraciones que terminan por formar el sonido del tambor.
Diaconis permanece fiel a
sus raíces de ilusionista, y reconoce que ambas artes tienen mucho en común.
La teoría del caos, las
matemáticas que se esconde tras estas imágenes, ayuda a comprender por qué, por
muy simples que puedan ser las leyes de la naturaleza, la realidad aparece infinitamente compleja. El término «caos» se
utiliza cuando un sistema dinámico es muy sensible a las condiciones iniciales;
cuando una mínima variación en el momento de iniciar un experimento produce una
diferencia drástica en los resultados obtenidos, ésta es la inconfundible firma
del caos.
El nuevo giro conseguido por
Berry podría llevar a una unificación de tres grandes temas científicos: la física
cuántica (la física de lo extremadamente pequeño), el caos (las matemáticas de
la impredecibilidad) y los números primos (los átomos de la aritmética).
Las notables competencias lingüísticas
de Weil contribuyeron a su gran habilidad para crear un nuevo lenguaje matemático
que le permitió articular sutilezas conceptuales inexpresables de otra forma.
Pero fue precisamente su obsesión por las lenguas y, en concreto, su amor por
el Mahabbarata —un antiguo texto sánscrito—, lo que, a principios de 1940,
condujo a prisión al eminente joven matemático.
El nuevo lenguaje matemático
de Weil, la geometría algebraica, le había permitido articular sutilezas sobre
la solución de ecuaciones que de otra forma hubieran sido imposibles. Pero si quedaba
alguna esperanza de extender las ideas de Weil de manera que ayudaran a
demostrar la hipótesis de Riemann, estaba claro que aquellas ideas se
desarrollarían más allá de las bases que él había sentado desde su celda de
Rouen. Sería otro matemático parisiense quien daría vida al esqueleto del nuevo
lenguaje ideado por Weil. El gran artífice de esta empresa fue uno de los matemáticos
más extraños y más revolucionarios del siglo XX: Alexandre Grothendieck.
Si la revolución geométrica
de Riemann ofreció a Einstein el lenguaje necesario para describir la física de
lo increíblemente grande, la geometría de Connes ofrece a los matemáticos la posibilidad
de penetrar en la extraña geometría de lo increíblemente pequeño. Gracias a él,
quizá podremos descifrar la estructura elemental del espacio.
Euclides demostró que los números
primos siguen hasta el infinito; Gauss plateó la hipótesis de que siguen un orden
aleatorio, como si hubieran sido elegidos lanzando una moneda; Riemann fue
aspirado por un agujero que lo condujo a un espacio imaginario donde los números
primos se convierten en música. En este espacio, cada punto a nivel del mar
hace sonar una nota. Por tanto, se trataba de interpretar el mapa del tesoro de
Riemann, y de descubrir la ubicación de cada punto a nivel del mar. Armado con
una fórmula que mantuvo en secreto para el resto del mundo, Riemann descubrió
que, aunque la disposición de los números primos pareciera caótica, los puntos
de su mapa estaban ordenados perfectamente: en lugar de estar desparramados aquí
y allá, estaban todos sobre una misma recta. No podía ver lo bastante lejos en aquel
paisaje como para poder afirmar que este orden siempre sería respetado, así lo
creía. Había nacido la hipótesis de Riemann.
